כמה צורות שונות צריך כדי לרצף משטח בלי דפוס חוזר?

הכובע באמת מכסה את המישור לאינסוף, ובשום סידור שלו הדפוס אינו חוזר על עצמו. הוא עשוי משמונה עפיפונים שנחתכו מרשת משושים, ומכאן שלוש עשרה הצלעות. ההוכחה הראתה שהכובעים נאלצים להתארגן לאשכולות קבועים, שהאשכולות מצטרפים לאשכולות גדולים יותר באותו כלל בדיוק, וכך הלאה בלי סוף. מבנה היררכי כזה אינו יכול לחזור על עצמו, ולכן הריצוף אל־מחזורי.

כדי להבין מה מיוחד כאן צריך לראות מה קורה ברצפה רגילה. אריח מרובע, משולש או משושה מכסה את המישור בלי חורים, ואפשר להזיז את כל הדפוס במרחק קבוע ולקבל בדיוק את אותה תמונה. זו תכונה של כמעט כל ריצוף שאנחנו מכירים, ועד שנות השישים חשבו שכל קבוצת צורות שמסוגלת לכסות את המישור מסוגלת גם לעשות זאת באופן מחזורי.

ב־1964 נמצאה קבוצה ראשונה שמפריכה את ההנחה, אבל היא מנתה יותר מעשרים אלף אריחים שונים. משם החל מרוץ של כיווץ: הקבוצה ירדה למאה ועשרים, אחר כך לשישה, וב־1974 הגיע רוג׳ר פנרוז לשניים. שם זה נתקע. חמישים שנה נשארה פתוחה שאלה אחת, שקיבלה בעגה את השם ״איינשטיין״, מן הגרמנית ein Stein, אבן אחת. לאלברט איינשטיין אין לזה שום קשר.

הכובע מתחבא בתוך רשת פשוטה. לוקחים משושים משוכללים, מחלקים כל אחד לשישה עפיפונים, ומדביקים שמונה מהם. התוצאה נראית כמו כובע עם שוליים, והיא חותכת את הרשת בצורה שמונעת כל סידור חוזר. מה שסמית׳ ראה בנייר היה שהצורה הזאת כן ממשיכה ובכל זאת לא נסגרת, ובדיוק שילוב כזה הוא מה שחיפשו.

ההוכחה עובדת בשני מסלולים מפני שכל אחד מהם משכנע בדרך אחרת. המסלול הגאומטרי מראה שלא מדובר במקרה בודד אלא ברצף שלם של מצולעים שמשנים את אורכי הצלעות בהדרגה, וכמעט כולם אל־מחזוריים מאותה סיבה. המסלול השני הוא בדיקה ממצה בעזרת מחשב: כל דרך אפשרית לחבר כובעים זה לזה נבדקת, ומתברר שכל חיבור חוקי נכפה להיכנס לאשכול, וכל אשכול לאשכול גדול יותר.

הסייג על השיקוף אינו טכני בלבד. בריצוף של הכובע חייבים להופיע גם עותקים הפוכים, כמו כפפה שמאלית בין ימניות, והם גם נדירים יותר מן האחרים. מי שסופר צורה ואת המראה שלה כשתיים יכול לטעון שהשאלה נשארה פתוחה. בתוך חודשים ספורים ענתה אותה קבוצת חוקרים גם על זה, עם ״הרפאים״: צורה שמרצפת אל־מחזורית בסיבובים ובהזזות בלבד, בלי שום היפוך.