למה הספרה 1 מופיעה הרבה יותר ממה שהייתם מצפים?

כשבודקים נתונים אמיתיים כמו אוכלוסיות ערים, חשבונות בנק או תוצאות מדידה, מספרים שמתחילים ב־1 מופיעים בכ־30% מהמקרים, ומספרים שמתחילים ב־9 בפחות מ־5%. התופעה חוזרת על עצמה בעשרות סוגי נתונים שונים, ומקורה בכך שגדילה טבעית של כמויות נוטה להיות אקספוננציאלית ולא אחידה.

האינטואיציה אומרת שבאוסף גדול של מספרים כל ספרה ראשונה תופיע בשכיחות דומה, כלומר כאחד חלקי תשעה. בנתונים אמיתיים זה פשוט לא קורה: אוכלוסיות ערים, חשבונות חשמל, שווי חברות, אורכי נהרות. בכולם 1 מופיעה בכשלושים אחוזים מן המקרים, ו־9 בפחות מחמישה.

ההסבר קשור לאופן שבו כמויות גדלות. מספרים טבעיים רבים גדלים באחוזים, ולכן סכום שעולה בקצב קבוע שוהה הרבה יותר זמן בדרך מאלף לאלפיים מאשר מתשעת אלפים לעשרת אלפים, כי המרחק היחסי שונה. דגימה בזמן אקראי תפגוש יותר מספרים שמתחילים בספרה נמוכה.

רמז יפה לכך הוא שהחוק אינו תלוי ביחידות. אותה רשימה של אורכי נהרות בקילומטרים או במיילים תיתן את אותה התפלגות ספרות, וזה כמעט מחייב שאם יש חוק כלשהו, זה חייב להיות הוא.

היישום המעשי נשען על החולשה האנושית: מי שממציא מספרים מפזר את הספרות הראשונות אחיד מדי, כי כך נראה לו אקראי. לכן רואי חשבון משווים את התפלגות הספרות בדוח להתפלגות הצפויה ומחפשים חריגה. וצריך לומר בבירור: החוק אינו חל על כל אוסף נתונים, בפרט לא על טווחים צרים או על מספרים שנקבעים שרירותית, וחריגה לבדה היא סימן שמצדיק בדיקה ולא הוכחה לזיוף.