איזה כלל חשבוני פשוט אף מתמטיקאי לא הצליח להוכיח?

הכלל פשוט להחריד. קחו מספר שלם חיובי: אם הוא זוגי, חלקו בשתיים. אם הוא אי־זוגי, הכפילו בשלוש והוסיפו אחד. חזרו על התהליך. הסדרה שמתקבלת היא מסלול מספר. השערת קולץ אומרת שלא משנה באיזה מספר תתחילו, בסופו של דבר תגיעו לאחת. בדקו את זה במחשבים לכל המספרים עד מעבר לשתיים כפול עשר בחזקת עשרים, וזה תמיד עבד. אבל בדיקה של מספרים בודדים היא לא הוכחה, ואף אחד לא מצא טיעון שמכסה את כל המספרים בבת אחת.

הכלל פשוט עד כדי שאפשר להסביר אותו לילד. קחו מספר שלם חיובי: אם הוא זוגי, חלקו בשתיים. אם הוא אי־זוגי, הכפילו בשלוש והוסיפו אחד. חזרו. ההשערה אומרת שלא משנה מאיפה מתחילים, בסוף מגיעים לאחת.

ההתנהגות בדרך פרועה לגמרי. שבע עולה עד 52 בדרכה למטה, ו־27 מטפס עד 9232 ולוקח יותר ממאה צעדים. אין נוסחה שמנבאת את אורך המסלול, ואין דפוס שמסביר מי יטפס ומי יצנח.

אפשר לנסח טיעון הסתברותי שמסביר למה זה אמור לעבוד: בממוצע, כל צעד מקטין את המספר. אלא שטיעון ממוצע אינו מוכיח שאין מסלול חריג שבורח למעלה לנצח, או שנכנס למעגל סגור שאינו כולל את אחת.

מחשבים בדקו את כל המספרים עד מעבר לשתיים כפול עשר בחזקת עשרים, וזה עבד תמיד. ב־2019 הוכיח טרנס טאו תוצאה חלקית חזקה, שההשערה נכונה כמעט תמיד עבור כמעט כל המספרים, וגם זה אינו סוגר את הדלת בפני קומץ חריגים. וזה כל השיעור: אימות של מיליארד מקרים אינו הוכחה, מפני שהאינסוף שנשאר גדול בדיוק כמו קודם.