מספרים ראשוניים נעשים נדירים יותר ככל שמתקדמים, ולכן סביר לחשוב שבשלב כלשהו הם פשוט נגמרים. כדי להכריע בשאלה עשה משהו הפוך: הוא הניח לרגע שיש רשימה סופית שמכילה את כולם. מה קרה אז?
נניח לרגע שיש רשימה סופית שכוללת את כל שקיימים. אוקלידס הראה שאפשר תמיד לקחת את כל המספרים ברשימה, להכפיל אותם זה בזה ולהוסיף אחת. המספר החדש שמתקבל, כשמחלקים אותו בכל אחד מהראשוניים ברשימה, תמיד משאיר שארית. משמעות הדבר היא שאו שהמספר החדש הוא עצמו ראשוני, או שיש לו מחלק ראשוני שלא נמצא ברשימה המקורית. כך או כך, הרשימה לא הייתה שלמה, בסתירה להנחה שהתחלנו ממנה.
מה שהופך את ההוכחה הזאת ליפה הוא שהיא מתמודדת עם אינסוף בלי לגעת בו. במקום לנסות למנות ראשוניים, היא מניחה שאפשר למנות אותם, ומראה שההנחה הזאת הורסת את עצמה.
הרעיון: נניח שיש רשימה סופית שכוללת את כל הראשוניים. מכפילים את כולם זה בזה ומוסיפים אחת. המספר החדש, כשמחלקים אותו בכל אחד מן הראשוניים ברשימה, תמיד משאיר שארית אחת, מפני שהמכפלה מתחלקת בכל אחד מהם בדיוק.
מכאן שתי אפשרויות בלבד, ושתיהן מפילות את ההנחה. או שהמספר החדש הוא עצמו ראשוני, ואז הוא לא היה ברשימה, או שיש לו מחלק ראשוני, ומכיוון שאף אחד מן הרשימה אינו מחלק אותו, גם הוא לא היה שם. בשני המקרים הרשימה לא הייתה שלמה.
שווה לדייק בנקודה שנוטים לפספס: ההוכחה אינה אומרת שהמספר שנבנה הוא ראשוני. לפעמים הוא לא. היא גם אינה נותנת דרך למצוא ראשוני חדש, אלא רק מראה שקיים. ומה שהיא אינה נוגעת בו כלל הוא ההתפלגות: כיצד הראשוניים מפוזרים לאורך ציר המספרים היא שאלה שפתוחה חלקית עד היום, והיא עומדת בלב אחת הבעיות הגדולות במתמטיקה.
wat. הכפלת כל הראשוניים הידועים ועוד אחד תמיד מפיקה מספר עם גורם ראשוני שלא היה ברשימה.
wat wat
מספרים ראשוניים הם אבני הבניין של כל שיטות ההצפנה שמגנות על תקשורת דיגיטלית היום, ולכן ההבנה שיש אינסוף מהם היא לא רק סקרנות תיאורטית.
איך יודעים?
זו הוכחה מתמטית טהורה , ולא תצפית אמפירית. היא מופיעה בספר התשיעי של יסודות אוקלידס מסביב לשנת 300 לפני הספירה.
מה עדיין לא יודעים?
ההוכחה מראה שיש אינסוף ראשוניים, אבל לא אומרת דבר על איך הם מתפזרים לאורך ציר המספרים. המדויקת שלהם עדיין פתוחה חלקית עד היום.
למדתם משהו?
מכאן ממשיכים
כמה צבעים צריך כדי לצבוע כל מפה בעולם?הוכחה
למה דווקא משושה, ולמה לקח אלפיים שנה להוכיח את זה?הוכחה
כמה אנשים צריך בחדר כדי ששניים יחלקו יום הולדת?הצפנה