איזו חידת טיול על שבעה גשרים הולידה תחום מתמטי שלם?

לאונרד אוילר הוכיח שזה בלתי אפשרי, וההוכחה שלו הייתה מהפכנית: הוא התעלם לגמרי ממרחקים, מגדלים ומצורות, והשאיר רק את השאלה מי מחובר למי. הוא הראה שכל יבשה חייבת להתחבר למספר זוגי של גשרים, ובקניגסברג לכל ארבע היבשות היה מספר אי־זוגי.

החידה התחילה כבילוי מקומי. קניגסברג נחצתה בנהר לארבע יבשות שחוברו בשבעה גשרים, והתושבים ניסו למצוא טיול שעובר על כל גשר בדיוק פעם אחת וחוזר לנקודת ההתחלה. איש לא הצליח, ואיש לא ידע אם זה מפני שזה בלתי אפשרי או מפני שלא ניסו מספיק.

אוילר עשה את הדבר שאינו מובן מאליו: במקום לנסות מסלולים, הוא שאל מה בכלל רלוונטי לשאלה. לא אורכי הגשרים, לא צורת האי ולא המרחקים. מה שנשאר הוא ארבע נקודות ושבעה קווים.

וברגע שזה כל מה שיש, הטיעון קצר. כל פעם שנכנסים ליבשה גם יוצאים ממנה, ולכן הגשרים שלה מתחלקים לזוגות. יבשה עם מספר אי־זוגי של גשרים יכולה להיות רק התחלה או סוף, ומכאן שמותרות לכל היותר שתי יבשות כאלה. בקניגסברג לכל ארבע היבשות היה מספר אי־זוגי, ולכן שום מסלול אינו קיים.

מה שנולד כאן גדול מן החידה. אותה הפשטה, של השארת יחסי חיבור בלבד, היא הבסיס לניתוח רשתות חברתיות, לניתוב תעבורה באינטרנט, לתכנון מסלולי משלוחים ולמיפוי רשתות עצביות. וכדאי לזכור שהפתרון תקף לשאלה המדויקת שנשאלה: הוספת גשר אחד, או ויתור על הדרישה לחזור להתחלה, משנים את התשובה.