רוב דפוסי האריחים המוכרים חוזרים על יחידה קבועה, וזה מה שהופך אותם לדפוס. בשנות השבעים מצא זוג צורות שמכסות מישור שלם על עצמו לעולם. אז מה יש בו במקום?
בין הצורות הם שמונעים חזרה במחזור קבוע. למרות היעדר החזרה, מופיעים בו סדר, סימטריות מקומיות ויחסים הקשורים ליחס הזהב. הרעיון קיבל קשר מפתיע לחומרים שנקראים , שאינם מסודרים במחזור קבוע.
כדי להבין מה מיוחד כאן כדאי להתחיל מן הרגיל. ריצוף רצפה מבוסס כמעט תמיד על יחידה שחוזרת: מזיזים אותה שמאלה ולמעלה שוב ושוב ומכסים הכול. מכאן ההנחה הישנה שכיסוי מלא ומסודר של המישור מחייב מחזוריות.
פנרוז מצא זוג צורות שמכסות את המישור כולו בלי חורים, ושכללי ההתאמה שלהן מונעים מחזוריות. הדגש על הכללים חשוב: בלעדיהם אפשר לסדר את אותן צורות בדפוס חוזר רגיל, ולכן הם חלק מן ההגדרה ולא פרט טכני.
מה שמתקבל אינו כאוס. יש בדפוס סדר ברור, סימטריות מקומיות מחומשות, ויחסים שקשורים ליחס הזהב. יתרה מזו, כל קטע סופי מן הדפוס, ולא משנה כמה גדול, מופיע שוב ושוב באינסוף מקומות אחרים. יש חזרה מקומית בלי מחזוריות כוללת.
המפנה הגיע מן החומרים. שנים ספורות אחר כך התגלה חומר שבו מסודרים בדיוק כך, בסדר מדויק שאינו מחזורי ובסימטריה שנחשבה לבלתי אפשרית . התגלית ספגה לעג וזכתה בסוף בפרס נובל, והמודל המתמטי של פנרוז הוא שסיפק לה שפה. וכדאי לדייק: דגם אריחים סופי תמיד יכול להיראות חוזר, ואי המחזוריות היא תכונה של הכיסוי האינסופי.
wat. אריחי פנרוז מסודרים לפי כללים קשיחים, אבל אין יחידה אחת שחוזרת ומרצפת את כל המישור.
wat wat
הדפוסים קישרו בין גאומטריה מופשטת למבנים אטומיים שחוקרים גילו מאוחר יותר בחומרים אמיתיים.
איך יודעים?
כללי התאמה מתמטיים מכריחים את סידור האריחים, והוכחות מראות ששום הזזה של הדפוס אינה מחזירה אותו לעצמו בכל המישור.
מה עדיין לא יודעים?
דגם אריחים סופי יכול להיראות כאילו הוא חוזר; אי המחזוריות היא תכונה של הכיסוי האינסופי.
למדתם משהו?
מכאן ממשיכים
איך סלע מן האדמה יוצא בצורת קובייה כמעט מושלמת?סימטריה
כמה צורות שונות צריך כדי לרצף משטח בלי דפוס חוזר?ריצוף
יש חרק שמניק את צאצאיו. איך זה בכלל עובד?טבע