משפט בנך־טרסקי אומר שאפשר לפרק כדור אחד ולהרכיב ממנו שני כדורים זהים לו בגודלם. זה נשמע כמו הפרה של חוק שימור החומר, ובכל זאת זו מתמטיקה תקינה לגמרי. איפה התעלול?
נשמע כמו מכונת שכפול, אבל החלקים שלו אינם גושים שאפשר לחתוך בסכין. אלה קבוצות נקודות מורכבות כל כך שאין להן נפח רגיל, והבנייה נשענת על . באמצעות סיבובים והזזות בלבד אפשר להראות מתמטית שהנקודות מתחלקות מחדש לשני כדורים בגודל המקורי. כאן מתגלה : חומר אמיתי, שמורכב , אינו עומד בתנאים האלה.
הניסוח לבדו נשמע כמו טריק: אפשר לפרק כדור למספר סופי של חלקים, להזיז ולסובב אותם, ולקבל שני כדורים זהים למקורי. שום חומר לא נוסף ושום דבר לא נמתח.
הפתרון נמצא במילה ״חלקים״. אלה אינם גושים שאפשר לחתוך בסכין אלא אוספי נקודות מפוזרים ומסובכים להחריד, שלא ניתן לייחס להם נפח כלל. וברגע שאין לחלק נפח, הכלל ״הנפחים מסתכמים״ פשוט אינו חל.
הבנייה גם אינה מציגה אותם. אקסיומת הבחירה מבטיחה שקבוצות כאלה קיימות, בלי לתת שום דרך לתאר אותן או למצוא אותן. זו הוכחת קיום במובן החזק ביותר: יודעים שיש, ואין שום מתכון.
מכאן שהפרדוקס אינו אומר דבר על כדורים אלא על ההנחות שלנו. הוא מראה שאם מקבלים את אקסיומת הבחירה, חייבים לוותר על הרעיון שלכל קבוצת נקודות יש נפח. רוב המתמטיקאים בוחרים בכך, ומשלמים בתוצאה הזאת. ובחומר אמיתי, שעשוי ממספר סופי של אטומים, אי אפשר לבצע את זה בשום אופן.
wat. השכפול של בנך טרסקי משתמש בקבוצות נקודות חסרות נפח מוגדר, לא בפרוסות חומר אמיתיות.
wat wat
הפרדוקס חושף את הגבול בין אינטואיציה גאומטרית לבין ההשלכות של אקסיומות בתורת הקבוצות.
איך יודעים?
ההוכחה משתמשת בסימטריות של המרחב התלת ממדי שנבחרות באמצעות אקסיומת הבחירה.
מה עדיין לא יודעים?
אי אפשר לבצע את הפירוק בחומר פיזי, והחלקים אינם בעלי צורה או נפח שאפשר למדוד בדרך רגילה.
למדתם משהו?
מכאן ממשיכים
כמה אנשים צריך בחדר כדי ששניים יחלקו יום הולדת?פרדוקס
שלוש דלתות ופרס אחד: האם כדאי להחליף בחירה?פרדוקס
אם חץ מעופף קפוא בכל רגע נתון, איך הוא בכלל זז?פרדוקס