כמה אנשים צריך בחדר כדי ששניים יחלקו יום הולדת?

עם 23 אנשים אפשר לבנות 253 זוגות שונים, לא רק 23 השוואות. כל זוג הוא הזדמנות נפרדת לחפיפה בין ימי הולדת, ולכן הסיכוי המצטבר עולה הרבה יותר מהר ממה שאינטואיציה ליניארית הייתה מנבאת. כשמחשבים את המשלים לאחד, כלומר את ההסתברות שאף שני אנשים לא חולקים יום הולדת, ומחסרים אותה מאחת, מקבלים מעל חמישים אחוז כבר ב־23 אנשים. עם 70 אנשים ההסתברות עוברת 99%.

הבלבול מתחיל בשאלה, ולא בחשבון. אם תשאלו מה הסיכוי שמישהו בחדר חולק את יום ההולדת שלכם, באמת יידרשו מאות אנשים. אבל השאלה כאן אחרת: מה הסיכוי שאיזשהו זוג בחדר חולק יום הולדת, כל זוג שהוא.

וזה הופך את החשבון. עם עשרים ושלושה אנשים יש לא עשרים ושלוש השוואות אלא מאתיים חמישים ושלוש, מפני שכל אחד נבדק מול כל אחד. מספר הזוגות גדל בערך כריבוע מספר האנשים, ולכן הוא מזנק הרבה מהר יותר מן האינטואיציה.

הדרך הפשוטה לחשב היא דרך השלילה: מה הסיכוי שאף שני אנשים אינם חופפים. מכפילים את הסיכוי שכל אדם נוסף מפספס את כל הקודמים, ומחסרים מאחת. התוצאה עוברת חמישים אחוז כבר בעשרים ושלושה אנשים, ועם שבעים היא מעל תשעים ותשעה.

העיקרון הזה אינו קוריוז. באבטחת מידע הוא נקרא התקפת יום הולדת: כדי למצוא שני קלטים שונים שמקבלים אותה חתימה מוצפנת דרוש רק שורש מספר האפשרויות, ולכן אורכי חתימה נקבעים לפיו. והחישוב מניח פיזור אחיד של ימי הולדת לאורך השנה, שאינו מדויק לגמרי, והסטייה קטנה מכדי לשנות את המסקנה.