שלוש דלתות ופרס אחד: האם כדאי להחליף בחירה?

האינטואיציה טועה. הבחירה המקורית עדיין נושאת רק שליש סיכוי, בעוד הדלת השנייה נושאת שני שליש, כי המנחה תמיד יבחר להראות דלת ריקה ובכך מעביר מידע. מעבר לדלת השנייה מכפיל את הסיכוי לזכות.

התיאור פשוט: שלוש דלתות, פרס מאחורי אחת, המתמודד בוחר. המנחה, שיודע איפה הפרס, פותח דלת אחרת שבוודאות ריקה, ומציע להחליף. האינטואיציה צועקת שעכשיו זה חמישים חמישים.

הטעות היא בהנחה שהמידע החדש מאפס את מה שקדם לו. הבחירה המקורית נעשתה מתוך שלוש אפשרויות, ולכן הסיכוי שהיא נכונה הוא שליש, ואין שום דבר בפעולת המנחה שמשנה זאת. מה שהוא כן עושה הוא לרכז את שני השלישים הנותרים בדלת אחת. הגדלת מספר הדלתות עושה את זה מוחשי: עם מאה דלתות המנחה פותח תשעים ושמונה ריקות, וברור שהדלת שנותרה נושאת כמעט את כל הסיכוי.

הדרך הקלה לראות את זה היא להגדיל את המספרים. דמיינו מאה דלתות: בחרתם אחת, כלומר סיכוי של אחוז, והמנחה פותח תשעים ושמונה ריקות ומשאיר אחת סגורה. האם תחליפו. ברור לגמרי. אותו היגיון חל על שלוש.

התנאי הקריטי, שבלעדיו הכול נופל, הוא שהמנחה יודע ובוחר בכוונה דלת ריקה. אילו פתח דלת באקראי והיא במקרה התגלתה כריקה, הסיכוי היה באמת מתחלק שווה. הבעיה הזאת בלבלה גם מתמטיקאים מקצועיים כשפורסמה, וסימולציות של אלפי סיבובים מראות שיעור זכייה של כשני שלישים למחליפים.