מה המסלול המהיר ביותר לגלוש בו למטה, אם לא קו ישר?

מסלול שצולל בחדות בתחילתו נותן לכדור תאוצה גדולה יותר ואז מנצל את המהירות בהמשך. הפתרון המדויק לבעיית הברכיסטוכרון הוא קשת ציקלואידית, אותה עקומה שנקודה על גלגל מציירת כשהגלגל מתגלגל.

האינטואיציה אומרת שקו ישר מנצח, והיא מתבלבלת בין שתי שאלות שונות. קו ישר אכן המרחק הקצר ביותר, ומי ששואל על זמן שואל שאלה אחרת.

הסיבה היא שהמהירות אינה קבועה אלא נבנית תוך כדי ירידה. מסלול שצולל בחדות בהתחלה מבזבז אורך וקונה מהירות מוקדם, והמהירות הזאת משרתת אותו לאורך כל השאר. השאלה היא מה האיזון הנכון בין השניים.

התשובה המדויקת היא קשת של ציקלואידה, אותה עקומה שמצייר סימן על היקף גלגל מתגלגל. לא פרבולה ולא מעגל, וזו אינה תשובה שאפשר לנחש. הפתרון דרש כלי חדש, שממנו צמח חשבון הווריאציות: במקום לחפש מספר אופטימלי מחפשים מסלול אופטימלי מבין אינסוף אפשרויות.

לעקומה הזאת יש בונוס יפה. היא גם עקומת הזמן השווה: כדור שמשוחרר מכל נקודה עליה מגיע לתחתית באותו זמן בדיוק. וכמו בכל מודל, ההנחות חשובות: חיכוך זניח וגוף נקודתי. במסילה אמיתית התנגדות וגלגול משנים מעט את הזמנים, ולא את המסקנה.