כמה אנשים צריך במסיבה כדי להבטיח שלושה שמכירים זה את זה, או שלושה זרים גמורים?

בכל קבוצה של שישה אנשים, בהכרח יימצאו שלושה שמכירים זה את זה בהדדיות, או שלושה שכולם זרים זה לזה. חמישה אנשים לא מספיקים: אפשר לסדר יחסי היכרות בין חמישה בני אדם כך שהתופעה הזאת לא תתקיים כלל. המספר המדויק הזה נקרא מספר רמזי, על שם המתמטיקאי פרנק רמזי, ומסמן בסימון מתמטי כ־R(3,3)=6.

החידה נשמעת חברתית והיא מתמטיקה נקייה. הטענה היא שבכל קבוצה של שישה אנשים, לא משנה מי מכיר את מי, בהכרח יימצאו שלושה שכולם מכירים זה את זה, או שלושה שכולם זרים זה לזה.

ההוכחה קצרה ואפשר לעקוב אחריה בראש. בחרו אדם אחד. יש לו חמישה קשרים, כל אחד מהם היכרות או זרות, ולכן לפחות שלושה מהם מאותו סוג. נניח שהוא מכיר שלושה. אם שניים מהשלושה מכירים זה את זה, יש לנו שלישייה של מכרים. ואם אף שניים מהם אינם מכירים, הם עצמם שלישייה של זרים.

החלק השני של הטענה הוא שחמישה אינם מספיקים, וזה דורש דוגמה. מסדרים חמישה אנשים במעגל, כל אחד מכיר את שני שכניו ואינו מכיר את שני הרחוקים, ובסידור הזה אין אף שלישייה מאותו סוג. לכן שש הוא בדיוק המספר.

מה שנפתח כאן הוא תחום שלם, שעוסק בשאלה איזה סדר מוכרח להופיע בכל מבנה גדול מספיק. וההמשך מפוכח: עבור ארבעה התשובה היא שמונה־עשרה, ועבור חמישה איש אינו יודע, והטווח נע בין ארבעים ושלוש לארבעים ושמונה. מספר הסידורים האפשריים גדול מכל כוח חישוב קיים.