טען ומדויק, חץ מעופף תופס מקום קבוע בדיוק כמו חץ נייח, ולכן באותו רגע הוא אינו זז כלל. ואם הוא אינו זז באף רגע בודד, לא ברור איך הוא זז בכלל. מה פתר את זה בסוף?
הפרדוקס נשאר קשה עד שפותח , שנתן דרך מדויקת להגדיר מהירות ברגע יחיד של יחס בין מרחק לזמן כשפרק הזמן שואף לאפס. ההגדרה הזאת פותרת את הפרדוקס בלי לסתור את האינטואיציה שהחץ אכן זז.
הטיעון של זנון קצר וחד. קחו רגע אחד, מדויק ובלי אורך. בתוך הרגע הזה החץ תופס מקום מסוים ואינו עובר שום מרחק, ולכן הוא אינו נבדל מחץ נייח. הזמן כולו מורכב מרגעים כאלה, ואם בכל אחד מהם אין תנועה, מאיפה מגיעה התנועה כולה.
זה אינו משחק מילים אלא בעיה אמיתית בהגדרה. מהירות מוגדרת כמרחק חלקי זמן, וברגע יחיד הזמן הוא אפס, ואי אפשר לחלק באפס. כלומר בתוך המסגרת המושגית של זנון פשוט אין למה שהוא שואל תשובה.
הפתרון הגיע עם החשבון האינפיניטסימלי, והוא שינוי בשאלה. במקום לשאול מה קורה באפס זמן, שואלים לאן מתכנס היחס בין מרחק לזמן ככל שפרק הזמן קטן והולך. התשובה היא מספר מוגדר אחד, וזו המהירות הרגעית.
כך מתקבלת הגדרה שמכבדת את האינטואיציה של זנון ואינה נלכדת בה: לרגע אין משך, ויש לו כיוון וקצב. הדרך אל ההגדרה הזאת לקחה אלפיים שנה והולידה את הכלי המרכזי של הפיזיקה כולה. ראוי לומר שהפתרון המתמטי מספק מסגרת חישוב עקבית, והשאלה הפילוסופית על טבע הזמן והתנועה עדיין נדונה.
wat. רק כשהוגדר גבול מדויק לרגע יחיד, אפשר היה להסביר איך תנועה קורית בלי סתירה.
wat wat
הפרדוקס דחף חשיבה על אינסוף וגבולות שהיא בסיס לכל הפיזיקה והמתמטיקה המודרנית, מתנועת כוכבים ועד הנדסת מחשבים.
איך יודעים?
זהו פתרון מושגי במסגרת החשבון הדיפרנציאלי, שפותח על ידי ניוטון ולייבניץ במאה השבע עשרה ומאוחר יותר הועמד על בסיס פורמלי מדויק יותר.
מה עדיין לא יודעים?
הפתרון המתמטי מספק מסגרת עקבית לחישוב, אבל השאלה הפילוסופית העמוקה יותר על טבע הזמן והתנועה עדיין נדונה בפילוסופיה של המדע.
למדתם משהו?
מכאן ממשיכים
כמה אנשים צריך בחדר כדי ששניים יחלקו יום הולדת?פרדוקס
שלוש דלתות ופרס אחד: האם כדאי להחליף בחירה?פרדוקס
איך אוניברסיטה נראית מפלה בנתונים ולא בשום מחלקה?פרדוקס